2 Теоремы умножения и сложения вероятностей. Независимые и зависимые события. Условная вероятность события
2.1 Совместные и несовместные события
Совместными событиями называются такие события, которые могут произойти одновременно — то есть существует хотя бы один исход, при котором оба события происходят. Формально, события A и B называются совместными, если их пересечение не является пустым множеством:
\[ A \cap B \neq \varnothing \]
Пример 2.1 В системе онлайн-курсов фиксируются действия студентов. Событие A — студент зашёл в личный кабинет. Событие B — студент открыл страницу текущего модуля. Оба события могут произойти одновременно: при одном входе студент сразу же может открыть нужную страницу. Таким образом, события A и B совместны, так как возможна ситуация, при которой они происходят одновременно.
Несовместными событиями (или взаимоисключающими) называются события, которые не могут произойти одновременно, то есть:
\[ A \cap B = \varnothing \]
Если события несовместны, то выполнение одного автоматически исключает выполнение другого.
Пример 2.2 В системе учёта обращений пользователей по техническим вопросам событие A — пользователь отправил обращение через веб-форму, а событие B — тот же пользователь позвонил по телефону в техподдержку по тому же вопросу. Согласно регламенту, система учитывает только первый способ обращения, а второй блокируется. Таким образом, события A и B несовместны: если одно произошло — другое уже не может произойти.
2.2 Теоремы умножения вероятностей
Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет (рис. 1.4).
Пример 2.3 Поступление в аптеку рецептов (событие А), обращения больных к медицинской сестре (событие В) являются независимыми событиями.
Теорема умножения вероятностей вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: P (A×B) = P(A) × P(B).
Пример 2.4 Медицинская сестра обслуживает в палате четырёх больных. Вероятность того, что в течение часа внимания медсестры потребует первый больной, Р(А) = 0,2, второй больной — Р(В) = 0,3, третий — Р(С) = 0,25, четвёртый больной — Р(D) = 0,1. Найти вероятность того, что в течение часа все больные одновременно потребуют сестринского вмешательства.
Решение. Считая требования больных независимыми, находим искомую вероятность по формуле:
P(A×B×C×D) = Р(А) × Р(В) × Р(С) × Р(D ) = 0,2×0,3×0,25×0,1 = 0,0015.
Если же вероятность события А меняется в связи с появлением или непоявлением события В, то событие А называется зависимым от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А; обозначение Р(А/В).
Теорема: вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие осуществилось:
Р(А×В) = Р(А) × Р(В/А) = Р(В) × Р(А/В).
Пример 2.5 Студент пришёл на экзамен по администрированию информационных сетей, зная лишь 40 из 50 вопросов учебной программы. В экзаменационном билете три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит на первый вопрос билета (событие А), на второй вопрос (событие В) и на третий вопрос (событие С).
Решение. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос билета, P(A) = 40/50 = 4/5. Вероятность того, что студент ответит на второй вопрос, вычисленная при условии, что он ответил на первый вопрос, т.е. условная вероятность, P(B/A) = 39/49. Вероятность того, что студент ответит на третий вопрос экзаменационного билета, в предположении, что он ответил на первый и второй вопросы, т.е. условная вероятность, P(C/(A×B)) = 38/48 = 19/24. По формуле находим искомую вероятность:
P(A×B×C) = P(A)×P(B/A)×P(C/AB) = 4/5×39/49×19/24 = 0,5.
2.3 Теоремы сложения вероятностей. Совместные и несовместные события.
Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе в этом эксперименте (Рис. 2.5); в противном случае события называются совместными.
Теорема: по отношению к любому испытанию и для любых случайных событий А и В имеет место равенство:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А×В).
Следствие. Если А и В — несовместные события, то вероятность наступления одного из них равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Пример 2.6 В аптеке имеются 100 упаковок одного лекарственного средства. Из них 20 упаковок имеют 90% срок годности, 50 упаковок — 70% срока годности, 24 упаковки — 50% срока годности, 6 упаковок с истекшим сроком годности [6]. Какова вероятность того, что взятая наугад упаковка препарата может быть допущена к реализации?
Решение. Вероятность выбора упаковки с 90% сроком годности (событие А) Р(А) = 20/100 = 1/5. Вероятность выбора упаковки с 70% сроком (событие В) P(B) = 50/100 = 1/2. Вероятность выбора упаковки с 50% сроком (событие С) P(C) = 24/100 = 6/25. События А, В и С несовместные, поэтому находим Р(A + B + C) = 1/5 + 1/2 + 6/25 = 32/50 = 0,64.
Теорема: сумма вероятностей несовместных событий А1, А2, … , Аn, образующих полную группу событий, равна единице:
P(А1) + P(А2) + … + P(Аn) = 1.
Пример 2.7 Аптечный склад получает лекарственные средства от медицинских предприятий трёх городов А, В, С. Вероятность получения препаратов из города А Р(А) = 0,6; из города B P(B) = 0,3. Найти вероятность Р(С) того, что препараты получены из города С.
Решение. События получения лекарственных средств из городов А, В и С составляют полную группу событий. Согласно приведённой выше формуле, 0,6 + 0,3 + P(C) = 1, откуда P(C) = 1 — 0,9 = 0,1.